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Dokumentenidentifikation DE10223445B4 14.07.2005
Titel Digitales lineares Entzerrfilter
Anmelder Fraunhofer-Gesellschaft zur Förderung der angewandten Forschung e.V., 80686 München, DE
Erfinder Pohl, Volker, Dipl.-Ing., 10407 Berlin, DE
DE-Anmeldedatum 23.05.2002
DE-Aktenzeichen 10223445
Offenlegungstag 18.12.2003
Veröffentlichungstag der Patenterteilung 14.07.2005
Veröffentlichungstag im Patentblatt 14.07.2005
IPC-Hauptklasse H03H 17/02
IPC-Nebenklasse H04B 7/005   

Beschreibung[de]

Die Erfindung bezieht sich auf ein digitales lineares Entzerrfilter mit einer arithmetischen Filterstruktur mit begrenzter Impulsantwort nach dem Zero-Forcing-Prinzip auf Basis bekannter Kanalmatrizen Ki eines zu entzerrenden, drahtlosen MIMO-Übertragungskanals der symbolübersprechenden Kanallänge N in einem Funkkommunikationssystem mit zum Zeitpunkt k gleichzeitig von n Sendeantennen gesendeten und von m Empfangsantennen empfangenen Datensymbolen.

MIMO-Systeme (Multiple Input Multiple Output) werden eingesetzt, um eine hohe spektrale Effizienz und somit eine hohe Übertragungsrate zu erzielen. Dabei werden auftretende Vielfach-Reflexionen im Übertragungskanal zur quasi-parallelen Übertragung unterschiedlicher Datenströme ausgenutzt. Neben einem räumlichen Übersprechen zwischen den einzelnen Datenströmen (Inter Channel Interference ICI) kommt es gleichzeitig aber auch durch die Vielfach-Reflexionen bei höheren Datenraten zu einem zeitlichen Übersprechen zwischen aufeinander folgenden Datensymbolen (Inter Symbol Interference ISI). Dabei wird das die Anzahl der übersprechenden Datensymbole bestimmende Kanalgedächtnis mit der Kanallänge N erfasst. Aus diesem Grunde werden bekannte MIMO-Systeme in der Regel bei so geringen Datenraten betrieben, dass die ISI keine Rolle spielt. Für diesen Fall existieren viele, sehr ausgereifte Berechnungsverfahren für die Auslegung von digitalen Entzerrfiltern für die notwendige räumliche Signalverarbeitung zur Beseitigung von ICI.

Da jedoch in modernen Funkkommunikationssystemen immer höhere Datenraten angestrebt werden, stellt die damit auftretende ISI derzeit ein die Datenrate begrenzendes Problem dar. Eine weit verbreitete Lösung, den Einfluss von ISI und ICI zu beseitigen, ist die Nutzung von OFDM-Systemen (Orthogonal Frequency Division Multiplex). Beim OFDM-Multiträgerverfahren wird als begrenztes Zeitsignal für die Filterimpulsantworten der Sende- und Empfangsfilter ein Rechteckimpuls verwendet. Da eine derartige Impulsformung die erste Nyquistbedingung erfüllt, ist das OFDM-System prinzipiell ISI-frei. Es ergeben sich unendlich ausgedehnte sinusförmige Subkanalspektren, die orthogonal zueinander liegen. Eine weitere Möglichkeit ist eine Block-basierte Signalverarbeitung, bei der ein gesamter Datenblock von nacheinander empfangenen Datensymbolen gemeinsam prozessiert wird. Der Rechenaufwand dieser Algorithmen steigt jedoch sehr schnell mit der Größe des Datenblocks an. Außerdem muss der kontinuierliche Datenstrom in regelmäßigen Abständen unterbrochen werden.

Weiterhin können wiederum digitale Filter benutzt werden, um den kontinuierlichen Datenstrom räumlich und auch zeitlich zu entzerren. Die grundlegenden Filterkonstruktionsverfahren für die erforderlichen Entzerrfilter sind der Veröffentlichung [1] von Jack Salz: "Digital Transmission over crosscoupled linear channels" (AT&T Tech. J.,vol 64, no. 6 (July/Aug. 1985), pp 1147-1159) und der Veröffentlichung [2] von Alexandra Duel-Hallen: "Equalizers for Multiple Input/Multiple Output Channels and PAM Systems with Cyclostationary Input Sequences" (IEEE Journal on Selected Areas in Communications, vol. 10, no. 3 (Apr. 1992), pp. 630-639) zu entnehmen. Beide Arbeiten beschränken sich aber auf symmetrische MIMO-Übertragungskanäle mit einer gleichen Anzahl von Sende- und Empfangsantennen (n=m). Dieser reguläre Fall wird für viele Filterkonstruktionsverfahren direkt verwendet oder bildet die Grundlage für daraus abgeleitete Lösungswege. In der Veröffentlichung [2] werden in der Hauptsache „Decision-Feedback Equalizer" (DFE), das heißt, rückgekoppelte Filter betrachtet. Diese sind typischerweise wesentlich aufwändiger als einfache lineare Equalizer, da sie zusätzlich noch einen Rückkopplungspfad aufweisen. Gleichzeitig bergen sie noch den Nachteil, dass es zu einer Fehlerfortpflanzung in der Rückkopplung kommen kann. Bei einer korrekten Auslegung zeigen sie jedoch ein geringfügig besseres Entzerrungsverhalten als lineare Filter ohne Rückkopplung. Da diese jedoch immer auch in einem DFE enthalten sind, ist die Kenntnis von guten linearen Filtern auch für die Konstruktion von DFE's von großem Nutzen.

In der Veröffentlichung [3] von A. Lozano und C. Papadias: "Layered Space-Time Receivers for Frequency-Selective Wireless Channels" (IEEE Trans. on Comm., vol. 50, no. 1, Jan 2002, pp. 65-73) werden lineare Entzerrfilter bzw. DFE's für asymmetrische MIMO-Übertragungskanäle mit einer Anzahl n Sendeantennen und einer Anzahl m Empfangsantennen (n ≠ m) betrachtet. Diese sollen durch einen Algorithmus nach dem BLAST-Prinzip (Bell Labs Layered Space-Time) mit einer rekursiven, empfängerseitigen Signalverarbeitung verbessert werden. Bezüglich der Filterkonstruktion der linearen Entzerrer werden jedoch keine konkreten Aussagen gemacht. Es gibt insbesondere keine konkrete Regel, wie lang die Entzerrfilter sein müssen. Es werden nur empirisch ermittelte Anhaltspunkte gegeben (vgl. 6 ebenda). Außerdem wird eine Beseitigung von ISI nur für sehr kurze Übertragungskanäle mit einem übersprechenden Datensymbol erreicht. Bei längerem Übersprechen von zwei oder mehr Datensymbolen steigt die Bitfehlerrate signifikant an, sodass die entsprechend ausgelegten Entzerrfilter ihre Aufgabe bei längeren Übertragungskanälen nicht befriedigend erfüllen können (vgl. 7 ebenda).

Das zuvor genannte digitale, lineare Entzerrfilter beruht genau wie das in der Veröffentlichung [4] von H. Sampath, H. Bölcskei und A.J. Paulraj: "Pre-Equalization for MIMO Wireless Channels with Delay Spread" (IEEE VTC Fall 2000, Boston, USA) beschriebene Entzerrfilter auf dem Zero-Forcing-Prinzip (Nullstellenerzwingung). Bei diesem Prinzip werden Berechnungsvorschriften für den Filtervorgang angewendet, die das störende Impulsnebensprechen zum Verschwinden bringen. Beim Zero-Forcing bildet das idealisierte Entzerrfilter mit einer arithmetischen Filterstruktur die zeitlich begrenzte, inverse Kanalimpulsantwort ohne Berücksichtigung des additiven Rauschens nach. Es wird somit bei richtiger Anwendung und Umsetzung die exakte Konstruktion eines FIR-Entzerrfilters (FIR Finite Impulse Response) aufgezeigt, die eine vollständige Kompensation der durch ICI und ISI im MIMO-Übertragungskanal auftretenden Störungen bei der Datenübertragung ermöglicht. Je nach Aufbau der arithmetischen Filterstruktur entsteht dabei jedoch ein stark unterschiedlicher Rechenaufwand schnell anwachsender Komplexität, der unter Umständen keine Echtzeitimplementierung mehr ermöglicht. In der Veröffentlichung [4] wird für den asymmetrischen Fall n>m im MIMO-Übertragungskanal mit mehr Sende- als Empfangsantennen eine Gleichung (vgl. Gleichung 7 ebenda) aufgestellt, die den exakten Verlauf der Kanalstruktur aufzeigt. Das Ausrechnen dieser Gleichung im Detail ist aber sehr aufwändig. Deswegen werden vereinfachende, jedoch fehlerimplizierende Annahmen getroffen. Insbesondere die Annahme gemäß einer weiteren Gleichung (vgl. Gleichung 5 ebenda) bzw. HlHkH≈0 für l≠k gilt im Allgemeinen nicht, sodass das berechnete Entzerrfilter in der Praxis nicht funktionieren wird. Auch die Annahme L≥MR (vgl. Gleichung 8 ebenda) stellt eine erhebliche Einschränkung der Funktionsfähigkeit des digitalen Entzerrfilters dar.

Aus dem Buch von J.G. Proakis: „Digital Communication", (4.Aufl., New York u.a.:Mc Graw Hill, 2001, pp.616-622) ist ein lineares Entzerrfilter nach dem „Peak Distortion Criterion" bekannt, dessen Übertragungsfunktion die inverse Übertragungsfunktion des Übertragungskanals ist. Es handelt sich dabei jedoch um ein Zero-Forcing-Filter, das unendlich viele Taps benötigt bzw. das nicht alle Intersymbol Interference (ISI) beseitigen kann, wenn es nur endlich viele Taps hat.

Die grundsätzliche Anforderung an die zuvor beschriebenen linearen Entzerrfilter nach dem Zero-Forcing-Prinzip ist es, die Übertragungskapazität, das heißt, die Übertragungsrate eines MIMO-Funkkommunikationssystems durch eine möglichst ideale gleichzeitige zeitliche und räumliche Entzerrung des Übertragungskanals deutlich zu erhöhen. Auftretende Störungen durch Kanal- und Symbolübersprechen sollen bestmöglich kompensiert werden.

Dazu muss jedoch die konkrete Kanalstruktur genau erkannt und in die arithmetische Struktur des linearen Entzerrfilters umgesetzt werden. Hierbei ist jedoch für eine Echtzeitimplementierung der erforderliche Rechenaufwand und dessen Komplexität zu berücksichtigen.

Die Aufgabe für die vorliegende Erfindung ist daher darin zu sehen, ein digitales lineares Entzerrfilter mit begrenzter Impulsantwort auf dem Kompensationsprinzip des Zero-Forcings anzugeben, dessen arithmetische Struktur die konkrete Kanalstruktur mit einem beliebig langen Übersprechverhalten für den asymmetrischen MIMO-Übertragungskanal in einem Funkkommunikationssystem exakt wiedergibt und die Filtervorgänge mit einem möglichst geringen Rechenaufwand niedriger Komplexität in Echtzeit umsetzt. Somit soll ein ideales Entzerrfilter für beliebige Kanallängen konzipiert werden können, das fehlerfrei arbeitet.

Die erfindungsgemäße Lösung für diese Aufgabe in Form eines digitalen linearen Entzerrfilters spezieller Konstruktion ist in den Ansprüchen 1 und 2 beschrieben. Vorteilhafte Weiterbildungen davon sind den Unteransprüchen zu entnehmen. Mit dem erfindungsgemäßen Entzerrfilter ist es möglich, ein ideales Entzerrfilter für beliebige Kanallängen für eine Echtzeitimplementierung zur Verfügung zu stellen. Basierend auf den gemessenen Kanalschätzungen können somit Entzerrfilter konstruiert werden, die sowohl das ICI als auch das ISI auch bei hohen und höchsten Datenraten perfekt beseitigen. Dabei wird die reale Kanalstruktur im Fall eines asymmetrischen MIMO-Übertragungskanals mit einer Überzahl von Sende- oder Empfangsantennen genau erkannt und sichtbar gemacht. Sie wird mit einem FIR-Entzerrfilter arithmetisch korrekt und in sehr einfacher arithmetischer Form umgesetzt. Im Falle symmetrischer Übertragungskanäle ergibt sich eine vom asymmetrischen MIMO-Übertragungskanal völlig abweichende Kanalstruktur mit grundsätzlich anders zu konstruierenden Entzerrfiltern, die aufgrund der Eineindeutigkeit des Systems eine unbegrenzte Impulsantwort erzeugen (IIR-Filter) und die Kanalstruktur nicht aufzeigen. Somit kann bei dem erfindungsgemäßen linearen Entzerrfilter gezeigt werden, dass das bei der Filterkonstruktion bisher in der Regel übliche Zugrundelegen des symmetrischen Falls für die asymmetrischen Fälle zwangsläufig zu falschen Ergebnissen mit schlechten Entzerrfiltern führen muss. Bei dem erfindungsgemäßen Entzerrfilter erfolgt für den asymmetrischen Fall mit mehr Sende- als Empfangsantennen (m>n) eine Vorentzerrung der Daten am Sender. Ist die Anzahl der Empfangsantennen größer als die Anzahl der Sendeantennen (n>m), werden die Daten am Empfänger entzerrt. In diesem Fall kann durch die Kombination von zwei Teilfiltern in einem gemeinsamen Entzerrfilter auch der störende Einfluss des Rauschens der Empfangsverstärkers wesentlich verringert werden.

Der wesentliche Vorteil des erfindungsgemäßen linearen Entzerrfilters liegt in seiner niedrigen Komplexität, das heißt, in dem geringen Rechenaufwand, der zur Entzerrung der Sende- und Empfangsdaten notwendig ist. Somit kann problemlos eine Echtzeitimplementierung des erfindungsgemäßen Entzerrfilters auch bei höheren und höchsten Datenraten im Funkkommunikationssystem erreicht werden. Das gerade bei höheren Datenraten verstärkt auftretende ISI kann mit dem erfindungsgemäßen Entzerrfilter perfekt beseitigt werden. Zur Berechnung des erfindungsgemäßen Entzerrfilters ist die Kenntnis der Kanalmatrizen notwendig, die das aktuelle Kanalverhalten beschreiben. Diese werden durch separate Kanalmessungen nach allgemein bekannten Vorgehensweisen bestimmt. Genannt sei hier beispielsweise das Kanalschätzungsverfahren, das bei CDMA-Mobilfunksystemen (Code Divison Multiple Access) für Vielfachnutzer zur Anwendung kommt. Dabei kann jede Sendeantenne zur Kanalmessung mit einem Spreizcode versehen werden.

Damit können dann an jeder Empfangsantenne die Kanalimpulsantworten bestimmt werden.

Das digitale lineare Entzerrfilter nach der Erfindung wird mit seinen Vorteilen und Ausgestaltungsmöglichkeiten im Folgenden näher erläutert und durch die Figuren veranschaulicht. Dabei zeigt für den Fall eines überbestimmten MIMO-Funkübertragungssystems die

1 eine erste mögliche Struktur des Entzerrfilters,

2 eine alternative mögliche Struktur des Entzerrfilters,

3 eine mögliche Struktur eines Entzerrfilters als Kombination aus den beiden Entzerrfiltern gemäß 1 und 2 und

4 einen Leistungsvergleich mit einem MIMO-Übertragungskanal ohne ISI mit N=0.

In der folgenden Beschreibung werden Abbildungsfunktionen mit großen griechischen Buchstaben, statische Abbildungsfunktionen, beispielsweise Matrizen, mit fetten, großen lateinischen Buchstaben und Vektoren und Vektorenwerte mit fetten, kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet.

Es wird ein MIMO-Funkkommunikationssystem für einen Einzelnutzer mit n Antennen am Sender Tx und m Antennen am Empfänger Rx betrachtet und das zeitdiskrete, komplexe, basisbandbasierte Signalmodel genutzt, bei dem die empfangenen Daten in der Symbolrate abgetastet werden. Der MIMO-Übertragungskanal wird als zeitlich konstant während der Dauer mehrere Symbole angenommen. In typischen Innenraum-Szenarien kann der MIMO-Übertragungskanal während eines Zeitraumes von ca. 10 ms als konstant angesehen werden. Bei einer Symbolrate von 106 Symbolen/s ist der Übertragungskanal demnach während 104 aufeinander folgenden Symbolen konstant und durch die folgende allgemeine lineare Differenzgleichung mit konstanten Koeffizienten charakterisiert

wobei gilt
  • – N ist die Ordnung der Gleichung und entspricht der Kanallänge.
  • – k ist der Zeitindex, i ist der Laufindex.
  • – Die Werte im Sendevektor x(k) = [x1(k), ..., xn(k)]T und im Empfangsvektor y(k) = [y1(k), ..., ym(k)]T sind die n und m Datensignale, die gleichzeitig zum Zeitpunkt k gesendet und empfangen werden. Es wird angenommen, dass der Sendevektor x(k) komplexe, im Mittel zu Null werdende, unkorrelierte, zufällige Werte aufweist.
  • – Der Rauschvektor v(k) = [v1(k), ..., vm(k)]T stellt das komplexe additive weiße Rauschen nach Gauß (Additive White Gaussian Noise AWGN) dar. Es wird angenommen, dass das Rauschen im Mittel zu Null wird und statistisch unabhängig, aber zeitlich gleichmäßig auftritt.
  • – K0, K1, ..., KN sind die komplexwertigen, konstanten Kanalmatrizen mit n Spalten und m Reihen, die durch die oben erwähnte Kanalmessung bestimmt werden. Es wird angenommen, dass jeweils die Sende- und Empfangsantennen gut voneinander separiert sind, sodass keine Korrelationen zwischen ihnen auftreten. Deshalb können die Kanalmatrizen mit statistisch unabhängigen, zufälligen Zahlenwerten gestaltet werden. Folglich können unterschiedliche Übertragungsprofile durch eine Wichtung der zufälligen Matrizen erzeugt werden.

Die Struktur des erfindungsgemäßen Entzerrfilters folgt aus der Lösung des beschriebenen Systems mit m unterschiedlichen Gleichungen für n unbekannte Funktionen gemäß Gleichung (1), welche das Übertragungsverhalten des frequenzselektiven MIMO-Übertragungskanals beschreiben. Unter Vernachlässigung des Rauschterms kann das bekannte Gleichungssystem N-ter Ordnung (GN) unter geschickter Ausnutzung allgemein bekannter mathematischer Zusammenhänge transformiert werden in ein Gleichungssystem erster Ordnung (G1) w(k) = A u(k) – B u(k-1)(2)

Diese Form stellt eine äquivalente, sehr einfache Gleichungsform dar, bei der sich mathematisch an der Bedeutung der Gleichung oder am Umfang des Gleichungssystems nichts geändert hat. Dabei bezeichnen A und B die Kanallängenmatrizen mit (m~ = (N-1)n + m)-Zeilen und (n~ = Nn)- Spalten, die sich aus den bekannten Kanalmatrizen K0....KN und aus der regulären, das heißt quadratischen (nxn)-Einheitsmatrix In zusammen setzen gemäß

Die Sende- und Empfangsvektoren stehen in den beiden Vektoren u und w als mathematische Hilfsgrößen, die einer Transformation vom konkreten in den mathematischen Raum (T1) entsprechen:

Im mathematischen Raum kann man die Hilfsgrößen mit dem Entzerrfilter nach der Erfindung sehr leicht entzerren, anschließend müssen jedoch die Ergebnisse wieder vom mathematischen in den konkreten Raum (T2) transformiert werden.

Um das Gleichungssystem (2) zu lösen, wird bei dem erfindungsgemäßen Entzerrfilter ein spezielles Matrizenbüschel (englisch „matrix pencil") erster Ordnung verwendet, das beispielsweise von Kronecker (Veröffentlichung [5] Leopold Kronecker, "Algebraische Reduction der Schaaren bilinearer Formen", Sitzungsberichte der Königl. Preuss. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 27. Nov. 1890, pp. 1225-1237) bekannt ist. Dieses Matrizenbüschel wird vollständig durch Elementarteiler und minimale Indizes bestimmt. Durch diese einfachen Zahlenwerte kann die zur Umsetzung des Zero-Forcing-Prinzips erforderliche Struktur des erfindungsgemäßen Entzerrfilters vollständig beschrieben und mathematisch einfach umgesetzt werden. Außerdem ist eine einfache Umformung der Gleichung (2) in eine kanonische Form durch folgende einfache Koordinatentransformation möglich u(k) = Qu~(k), w(k) = P–1w~(k)(5)

Hierin bezeichnen P und Q reguläre m~×m~- und n~×n~- Transformationsmatrizen und die kanonische Form der Gleichung (2) lautet w~(k) = A~u~(k) – B~u~(k-1)(6)

Mit A~ = PAQ und B~ = PBQ, wobei die Transformationsmatrizen P und Q, die sich bei einer Änderung des Übertragungskanals (beispielsweise durch Anwenderbewegungen im Kanal) ändern, unter Anwendung eines bekannten Matrizenalgorithmus (Veröffentlichung [6] : Felix R. Gantmacher, "Matrizentheorie," Berlin; Heidelberg; New York; Tokyo: Springer, 1986, pp 376-382) aus den bekannten Kanallängenmatrizen A und B berechnet werden können. Dabei stellt die Matrix P die Transformationsmatrix für den Vektor w(k) in Gleichung (2) dar. Da aber hier die ersten (N-1)n-Werte des Vektors Null sind, kann y(k) direkt mit den letzten m Spalten der Matrix P multipliziert werden, um w~(k) in Gleichung (6) zu erhalten. Diese kleinere m~×m~-Matrix wird mit P~ bezeichnet. Außerdem besteht nur ein Interesse an den ersten Werten des Vektors u(k), sodass es ausreicht, u~(k) mit den ersten n-Reihen der Matrix Q zu multiplizieren, um den gesuchten Sendevektor x(k) zu erhalten. Diese n×n~– Matrix wird mit Q bezeichnet. Auf diese Weise kann die Transformation vom bekannten Empfangsvektor y(k) in Gleichung (1) zu dem Vektor w~(k) in Gleichung (6) und die Transformation von der Lösung u~(k) aus Gleichung (6) zurück zu der gesuchten Lösung x(k) in Gleichung (1) erfolgen durch w~(k) = P~y(k) (T1)(7) x(k) = Q~u~(k) (T2)(8)

Die konkreten Formen der Matrizen A und B sind vollständig durch die Struktur des jeweiligen Matrizenbüschels bestimmt, das jedoch für die verschiedenen Konstellationen eines MIMO-Übertragungskanals grundsätzlich unterschiedlich ist. Es handelt sich dabei um singuläre Matrizen-Büschel, die genau die angegebenen Lösungen minimalen Grades besitzen. Diese singulären Matrizenbüschel müssen immer in die „Kronecker-kanonische" Form gebracht werden, wobei das Vorgehen allgemein bekannt ist (vergleiche beispielsweise die Veröffentlichung [5A] von P. van Dooren : „The Computation of Kronecker's Canonical Form of a Singular Pencil" (Linear Algebra and its Application, vol. 27 (1979), pp. 103-140). Im Folgenden wird auf den asymmetrischen MIMO-Übertragungskanal eingegangen, der eine räumliche Diversität erzeugt.

A) Überbestimmtes Gleichungssystem

Für den Fall des überbestimmten Gleichungssystems (m>n, Antennenüberschuss d = m-n am Empfänger) ergeben sich für die Matrizen A~ und B~ in Gleichung (6) folgende einfache quasi-diagonale Formen:

Dabei liegen auf der Diagonalen I1 Matrizen A&egr;1 bzw. B&egr;1 mit (&egr;1+1) Zeilen und &egr;1 Spalten und I2 Matrizen A&egr;2 bzw. B&egr;2 mit (&egr;2+1) Zeilen und &egr;2 Spalten. Auf der Diagonalen liegen insgesamt &Igr;1+ I2 = d = (m-n) Matrizen. Die Matrizen A&egr; bzw. B&egr; sind gegeben durch

wobei für &egr; jeweils &egr;1 bzw. &egr;2 einzusetzen ist.

Die Zahlenwerte &egr;1, I1, &egr;2 und I2 sind entsprechend der Dimensionen der Matrizen A~ und B~ folgendermaßen festgelegt

&egr;1
= kleinste ganze Zahl, für die gilt : (&egr;1+1) d > Nn
&egr;2
= &egr;1 + 1
I1
= (&egr;1+1)d-Nn
I2
=d-I1

Die Zahl &egr;1 kann auch den Wert Null annehmen. In diesem Fall entstehen Null-Reihen in den Matrizen A~ und B~. Festzustellen ist, dass die genannten Zahlenwerte ausschließlich von den Anzahl n der Sendeantennen, der Anzahl m der Empfangsantennen und von der Kanallänge N abhängt. Eine Abhängigkeit von der konkreten Realisation der Kanalmatrizen Ki besteht nicht. Deshalb verändern sich die Matrizen A~ und B~ nur, wenn sich die Länge des MIMO-Übertragungskanals oder die Antennenanzahl n, m verändert, und nicht aufgrund von temporären Einflüssen auf den Kanal.

Wegen der Quasi-Diagonalität der Matrizen A~ und B~ kann die kanonische geformte Gleichung (6) wegen in eine Anzahl I1+I2 = d von Elementargleichungen aufgespalten werden w~i(k) = A&egr; u~i(k) – B&egr; u~i(k-1) mit i=1, ..., d ; &egr;=&egr;1, &egr;2(9)

Diese Elementargleichungen sind aufgrund der einfachen Struktur der Matrizen A&egr; und B&egr; sehr einfach zu lösen. Die Gesamtlösung von Gleichung (6) ergibt sich dann durch Zusammensetzung der Lösungen der Elementargleichungen. Es ergeben sich zwei gleichwertige Lösungswege. Dazu werden die beiden folgenden linearen, eineindeutigen Abbildungen &Xgr;M und &Xgr;L betrachtet (der Grund für die Verwendung dieser Abbildungen zur Lösung wird weiter unten in einem einfachen Beispiel erläutert)

Die darin auftretenden mxm- Matrizen Mi und Li sind gegeben durch:

und die Elementarmatrizen mit (&egr;+1) Reihen und (&egr;+1) Spalten auf den Diagonalen lauten
wobei für &egr; jeweils wieder &egr;1 bzw. &egr;2 einzusetzen ist.

Beide Abbildungsfunktionen (10i, 10ii) können auf Gleichung (6) angewendet werden, sodass gerechnet wird

Auf den linken Seiten dieser Gleichungen stehen Kombinationen der bekannten Daten w~(k). Wird das Ergebnis dieser Summationen mit z~(k) bezeichnet:

und werden die rechten Seiten der Gleichungen ausgerechnet, so ergeben sich die folgenden beiden einfachen Gleichungen: z~(k) = A~u~(k)(13i) bzw. z~(k) = B~u~(k)(13ii)

Die Lösung dieser Matrizengleichungen erfolgt mit Hilfe von pseudo-inversen Matrizen A~+ und B~+ der beiden Matrizen A~ und B~: u~(k) = A~+ z~(k)(14i) bzw. u~(k) = B~+ z~(k)(14ii)

Es bestehen zur Lösung mehrere Möglichkeiten. Beispielsweise kann man die Moore-Penrose-Pseudo-Inverse (MP) der Matrizen A~ und B~ bilden:

wobei AH jeweils die zu A transponiert und konjugiert-komplexe Matrix ist. Alternativ können die Matrizen nach dem Schätzverfahren der kleinsten Fehlerquadrate (Weighted-Least-Square-Estimation WLSE, vgl. Veröffentlichung [7] Karl-Rudolf Koch, "Parameter Estimation and Hypothesis Testing in Linear Models," Berlin-Heidelberg: Springer, 1987, pp 182-190) bestimmt werden:
wobei die Matrizen WM und WL durch folgende Gleichungen bestimmt sind:
mit den oben definierten Matrizen Mi und Li.

Alternativ können die Matrizen auch nach dem Schätzverfahren der kleinsten mittleren Fehlerquadrate (Minimum-Mean-Square-Error-Estimation MMSE, vgl. Veröffentlichung [8] M. Tüchler, A. Singer, R. Koetter, "Minimum Mean Squared Error Equalization using A-priori Information" July 3, 2000 accepted for pub. in IEEE Trans. on Signal Processing, pp 1-22) gebildet werden. Dazu ist jedoch die Kenntnis des mittleren Signal- zu Rauschverhältnisses am Empfänger notwendig:

Hierbei ist die Matrix U durch U=(Q~HQ~)–1 gegeben und die Matrizen WM und WL gemäß Gleichung (17). Die mittlere Rauschleistung an einer Empfangsantenne ist &sgr;&ngr;2 und die mittlere Sendeleistung an einer Sendeantenne ist &sgr;x2.

Die gesuchte Lösung x(k) wird durch Anwendung der Gleichungen (7), (12), (14) und (8) in dieser Reihenfolge aus den gegebenen Daten y(k) erhalten. Das Anwenden von Gleichung (12i) und (14i) führt dabei zu der ersten möglichen Lösung, während die Verwendung von (12ii) und (14ii) zu einer zweiten Lösung führt. Als Pseudo-Inverse A~+ bzw. B~+ in Gleichung (14) kann dabei eine der drei gemäß der Gleichungen (15), (16) oder (17) angegebenen Matrizen verwendet werden.

Zu erkennen ist, dass zur Berechnung der Lösung mit den Gleichungen (12i) und (14i) die Empfangsdaten zu den vergangenen Zeitpunkten w~(k), w~(k-1), ...; w~(k-&egr;2) benötigt werden. Bei der Berechnung der Lösung gemäß Gleichung (12ii) werden hingegen die zukünftigen Empfangsdaten w~(k+1), w~(k+2), ..., w~(k+&egr;2+1) benötigt. Gleichung (12ii) kann aber durch eine einfache Zeitverschiebung umgeschrieben werden, und es ergibt sich

Wird also anstelle der Gleichung (12ii) die Gleichung (19) benutzt, so kann aus den Daten zu den vergangenen Zeitpunkten k, k-1, ..., k-&egr;2 der Datenvektor berechnet werden, der zum Zeitpunkt k-&egr;2-1 gesendet wurde. Der entsprechende Empfangsfilter weist demnach eine Zeitverzögerung von &egr;2+1 Symbolen auf. Diese Verzögerung ist jedoch weniger kritisch und damit bei der Filterrealisierung akzeptabel.

Die beiden Lösungen gemäß Gleichungen (7), (12i), (14i), (8) bzw. (7), (19), (14ii), (8) stellen Ausführungsformen des Entzerrfilters nach der Erfindung dar und sind in 1 und 2 dargestellt.

Die Blöcke mit z–1 bezeichnen die Zeitverschiebung eines Symbols. Prinzipiell sind die anderen Blocks Multiplikationen mit den oben genannten Matrizen Mi und Li. Zu erkennen ist, dass die beiden Matrizen Mi und Li so einfach sind, dass die Multiplikationen mit diesen Matrizen in diesen Filtern durch einfache Drahtverbindungen ausgeführt werden können. Somit umfasst die Berechnungs-Komplexität dieser Filter lediglich [(I1·&egr;1(&egr;1+1)+I2&egr;2(&egr;2+1)]/2 Summationen, womit als besondere Vorteile des erfindungsgemäßen Entzerrfilters neben dessen perfektem Filterverhalten insbesondere der geringe Hardwareaufwand und die Echtzeitimplementierung zu nennen sind. Zu erkennen ist auch die Zeitverzögerung von &egr;2+1 Symbolen im zweiten Filter gemäß Gleichung (19).

1 und 2 zeigen somit die Struktur der pseudo-inversen Entzerrfilter für ein überbestimmtes MIMO-Übertragungssystem und veranschaulichen noch einmal den Rechenweg. Die empfangenen Signale y(k) werden mit der Matrix P~ multipliziert gemäß Gleichung (7). Es ergeben sich Werte w~(k). Diese Daten werden durch die Filterstruktur &Xgr;M bzw &Xgr;L geleitet gemäß Gleichung (12i) bzw. (19). Aufgrund der einfachen Matrizen wird mit der Filterstruktur gemäß 1 und 2 nur die Regel umgesetzt, wie einzelne Datensubströme w~i(k) der Datenströme w~(k) verzögert und addiert werden sollen. Hinter der Filterstruktur ist die ISI für beliebige Kanallängen N aus den Datenströmen vollständig entfernt. Werden die gefilterten Daten noch mit A~+ bzw. B~+ gemäß Gleichungen (14i) bzw. (14ii) und noch mit Q~ gemäß Gleichung (8) multipliziert, wird auch die ICI entfernt und der zeitlich und räumlich entzerrte Datenstrom x(k) erhalten. Die gesamte arithmetische Komplexität des Entzerrfilters nach der Erfindung wird somit durch die beiden Matrizenmultiplikationen vor und hinter der aktuellen Filterstruktur bestimmt.

B) Unterbestimmtes Gleichungssystem

Der Fall des unterbestimmten Gleichungssystems (m<n, Antennenüberschuss d = n-m am Sender) ist in Analogie zum überbestimmten Gleichungssystem mit einem Antennenüberschuss am Empfänger zu sehen. In beiden Fällen ist die Kanalstruktur gleich und lässt sich damit mathematisch analog nachbilden. Die Kanalstruktur bei einem Antennenüberschuss am Sender kann als transponierter Fall der Kanalstruktur mit einem Antennenüberschuss am Empfänger interpretiert werden. Zwischen den beiden Fällen kann daher mathematisch mit einer Transponierung gearbeitet werden.

Für die Matrizen A~ und B~ in Gleichung (6) ergeben sich damit folgende einfache quasi-diagonale Formen:

Die Matrizen A&egr;T und B&egr;T sind die zu A&egr; und B&egr; (aus dem überbestimmten Gleichungssystem Fall A) transponierten Matrizen. Die Zahlenwerte &egr;1, I1, &egr;2 und I2 sind entsprechend der Dimensionen der Matrizen A~ und B~ jetzt folgendermaßen festgelegt

&egr;1
= kleinste ganze Zahl, für die gilt : (&egr;1+2) d > Nn
&egr;2
=&egr;1+1
I1
=(&egr;1 + 2) d – Nn
I2
=d-I1

Somit wird die kanonische geformte Gleichung (6) wegen ihrer quasi-Diagonalität wiederum aufgespalten in eine Anzahl I1+I2 = d von transponierten Elementargleichungen

Diese Elementargleichungen sind wieder sehr einfach zu lösen, und die Gesamtlösung von (6) ergibt sich aus der Zusammensetzung der Lösungen dieser Elementargleichungen. Die Lösung ist analog zu Fall A, dem überbestimmten System. Es ergeben sich wieder zwei Lösungen entsprechend 1 und 2, nur dass jetzt innerhalb der Filterstrukturen &Xgr;M bzw yL jeweils die transponierten Matrizen MiT bzw. LiT eingesetzt werden müssen.

Obwohl die Filter für das über- und das unterbestimmte MIMO-System sich sehr ähnlich sehen, bestehen einige wichtige Unterschiede. Im überbestimmten Fall für mehr Empfangs- als Sendeantennen ist die Ordnung NRx (d.h. die Länge) des Entzerrfilters gegeben durch

Wird die Anzahl der Sendeantennen n (und damit die Anzahl der unabhängig übertragenen Datenströme) konstant gehalten und die Anzahl der Empfangsantennen m vergrößert, so sinkt die Ordnung (Länge) des Filters solange stetig, bis gilt m ≥ (N+1)n bzw. d ≥ Nn(22)

In diesem Fall wird die Filterlänge 1.

Im unterbestimmten Fall hingegen ist die Ordnung NTx (Länge) des Entzerrfilters gegeben durch

Wird in diesem Fall die Anzahl der Empfangsantennen m (und damit wieder die Anzahl der unabhängig übertragenen Datenströme) konstant gehalten und jetzt die Anzahl der Sendeantennen n erhöht, so nimmt die Ordnung des Entzerrfilters auch ab, aber sie bleibt immer größer oder gleich der Kanallänge N und größer als die Länge des äquivalenten überbestimmten Systems. Daraus folgt, dass eine Entzerrung am Sender mit mehr Sende- als Empfangsantennen immer rechenaufwändiger ist als eine Entzerrung am Empfänger mit mehr Empfangs- als Sendeantennen.

Beide inverse Entzerrfilter gemäß Gleichungen (12i) und (12ii) liefern eine mathematisch korrekte Lösung, die die Kanalstruktur genau erfasst und mit einer einfachen mathematischen Operation in Echtzeit invers abarbeitet. Das Rauschen am Empfänger wird aber durch diese Filterung angehoben, wodurch Bitfehler entstehen können. Werden jedoch im überbestimmten System die beiden Filter als Teilfilter in einem gemeinsamen Entzerrfilter kombiniert, so wird dieses Rauschen erheblich vermindert.

Wird das Resultat, welches mit dem ersten Entzerrfilter gemäß 1 errechnet wird, mit xM(k) und das Resultat, welches durch den zweiten Entzerrfilter gemäß 2 errechnet wird, mit xL(k) bezeichnet, so wird durch

ein besserer Schätzwert für die gesendeten Daten bestimmt. Die Matrizen FM und FL werden dabei so gewählt, dass sich das Rauschen in den beiden verschiedenen Schätzwerten möglichst gut heraushebt. Dazu werden diese Matrizen wie folgt bestimmt:

Dabei stellen XL und XM die Kovarianzmatrizen der Daten xL(k) und xM(k) dar:

Die Matrizen WM und WL sind in Gleichung (17) gegeben und für die beiden Pseudo-lnverse A~+ und B~+ muss die in den Filtern verwendete Pseudo-Inverse aus den Gleichungen (15), (16) oder (18) eingesetzt werden.

Dargestellt ist ein derartig kombinierter Entzerrfilter in der 3. P~ und Q~ sind die reduzierten Transformations-Matrizen gemäß Gleichungen (7) und (8) und &Xgr;M sowie &Xgr;L stellen die Filterstrukturen gemäß 1 bzw. 2 dar. Eine Kombination von zwei Teilfiltern zur Rauschbehebung ist im unterbestimmten Fall mit mehr Sende- als Empfangsantennen hingegen nicht möglich.

Wird die Komplexität des weitergebildeten Entzerrfilters nach der Erfindung durch Kombination zweier Teilfilter betrachtet, ist zu erkennen, dass diese durch die Multiplikation mit den Matrizen P und den Matrizen (A~+·Q~·FM) und (B~+·Q~·FL) (vgl. 3) bestimmt werden. Die Matrix P~ hat ((N-1)n+m) Zeilen und m Spalten. Die beiden anderen Matrizen haben jeweils n Zeilen und ((N-1)n+m) Spalten. Damit errechnet sich die Gesamtanzahl der Multiplikationen pro geschätztem Sendevektor x(k) zu (Nn-n+m)·(2n + m) < 3 N m2,(24) wobei das m auf der rechten Seite für die größte Antennenzahl auf einer der beiden Seiten steht. Deshalb wächst die Komplexität der Berechnung der Gleichungen linear mit der Anzahl der Länge N des MIMO-Übertragungskanal und quadratisch mit der Anzahl der auf einer Seite verwendeten Antennen (max [n,m]) an.

Ändern sich die Kanalkoeffizienten, so müssen vorher jeweils noch die Matrizen P~, Q~, A~+, B~+, FM, FL berechnet werden. Der dafür nötige Aufwand hängt im Wesentlichen von dem zur Berechnung der Transformationsmatrizen P und Q verwendeten Algorithmus ab und steigt auch mit größerer Antennenzahl und Kanallänge an.

Um nachzuweisen, dass das für das Entzerrfilter nach der Erfindung aufgezeigte vereinfachte Entzerrungskonzept die ISI- und ICI-Einflüsse im MIMO-Übertragungskanal vollständig eliminiert, wurden Simulationsrechnungen zur Ermittlung der Bitfehlerrate BER erstellt. Die Ergebnisse sind in der 4 dargestellt. In den Simulationsrechnungen sind die Eingangsgrößen die angenommenen Kanalmatrizen K0, ..., KN. Dabei wurde ein konstantes Leistungsprofil des MIMO-Übertragungskanals über die gesamte Kanallänge N angenommen. Die Fehlerkurven wurden mit dem WLS-Schätzverfahren ermittelt. Der Empfänger zeigt perfekten Datenempfang. Es wurde das Entzerrfilter nach der Erfindung aus zwei Teilfiltern eingesetzt. Es wurden Kurven für unterschiedliche Anzahl von Empfangsantennen berechnet, die zeigen, dass das Übertragungsverhalten mit Steigerung, der Empfangsantennenanzahl verbessert werden kann. Zum Vergleich ist die Berechnung für einen MIMO-Kanal ohne zeitliches Übersprechen (N=0) dargestellt.

Entscheidend für das Entzerrfilter nach der Erfindung ist, dass durch die Beschränkung auf die asymmetrischen Fälle und die Wahl des Rechengangs die Struktur der Gleichung mit den einfachen Zahlenwerten &egr;1, &egr;2, I1 und I2, die genau der Kanalstruktur entspricht, deutlich sichtbar wird. Ist diese Struktur mit den Zahlenwerten nicht bekannt, kann ein Entzerrfilter nach dem Zero-Forcing-Prinzip nicht korrekt gebaut werden. Insbesondere steht dann keine Information darüber zur Verfügung, wie lang das Entzerrfilter zu sein hat. Diese Information ist aber wesentlich für den Filteraufbau aus einer entsprechenden Anzahl von Elementarfiltern. Auch kann keine Ableitung vom symmetrischen Fall mit einer völlig unterschiedlichen Kanalstruktur erfolgen. Nur bei Kenntnis der asymmetrischen Kanalstruktur in Form des mathematisch speziell abgeleiteten und damit enorm vereinfacht darstellbaren Gleichungssystems kann eine genaue Konstruktion der erforderlichen Entzerrfilter mit der richtigen Filterlänge und den richtigen Filterkoeffizienten zur vollständigen Eliminierung von räumlichen und zeitlichen Verzerrungen bei der drahtlosen Datenübertragung in einem MIMO-Kommunikationssystem erfolgen.

Berechnungsbeispiel zur Lösung der Gleichung in kanonischer Form (6) für ein sehr einfaches MIMO-Funkkanal-System

Es wird ein einfaches System mit n=2, m=3, N=1 betrachtet. Aus diesen Werten ergibt sich: d=1, &egr;1=2, &egr;2=3, I1=1, I2=0. Da diesem System schon eine Gleichung erster Ordnung gemäß Gleichung (2) entspricht, kann nach der Bestimmung der Transformationsmatrizen P und Q die Gleichung sofort in die kanonische Form gemäß Gleichung (6) gebracht werden:

Ausführlich geschrieben ergeben sich folgende drei Gleichungen

Zur einfacheren Lösung werden die drei Gleichungen in drei neue, äquivalente Gleichungen umgeformt. Dabei braucht die dritte Gleichung nicht geändert zu werden, da sie ausreichend einfach ist. Die neue zweite Gleichung entsteht durch Addition der rechtsverschobenen letzten Gleichung zur zweiten Gleichung. Dabei sind der rechts- und der links-verschiebende Operator R/L im Allgemeinen definiert durch : (Rx)(k) := x(k-1) und (Lx)(k) := x(k+1). Eine Rechtsverschiebung bedeutet daher eine Anwendung von R auf beide Gleichungsseiten. Die neue erste Gleichung erhält man durch Addition der rechtsverschobenen zweiten Gleichung und der doppelt-rechtsverschobenen dritten Gleichung. Am Ende dieser Umformungen erhält man:

Aus diesen transformierten Gleichungen ist die Lösung direkt abzulesen. Darüber hinaus gibt die erste transformierte Gleichung die Bedingung für die unabhängigen Empfangsdaten y(k) an, unter denen das überbestimmte, Gleichungssystem (26) lösbar Ist.

Diese Umformungen der Einzelgleichungen können formal durch folgende eineindeutige Abbildung ausgedrückt werden

Durch Anwendung dieser Gleichung auf die Ausgangsgleichung (25) werden die obig genannten Umformungsschritte von Gleichung (26) nach Gleichung (27) durchgeführt und man erhält als Ergebnis:

was äquivalent mit der Darstellung gemäß Gleichung (27) ist. Das Ergebnis ist also eine einfache Matrizen-Gleichung. Zur Lösung dieser Gleichung können bekannte Verfahren eingesetzt werden.

Ganz analog entspricht das Anwenden der Abbildung &Xgr;L auf Gleichung (25) einer Umformung der Gleichungen, die auch wieder auf eine einfache Matrizengleichung führt.


Anspruch[de]
  1. Digitales lineares Entzerrfilter mit einer arithmetischen Filterstruktur mit begrenzter Impulsantwort nach dem Zero-Forcing-Prinzip auf Basis bekannter Kanalmatrizen Ki eines zu entzerrenden, drahtlosen MIMO-Übertragungskanals der symbolübersprechenden Kanallänge N in einem Funkkommunikationssystem mit zum Zeitpunkt k gleichzeitig von n Sendeantennen gesendeten und von m Empfangsantennen empfangenen Datensymbolen, die für den asymmetrischen Fall m>n mit einem empfängerseitigen Antennenüberschuss d = m – n zur Ermittlung der Sendevektoren x(k) aus den aus der allgemeinen linearen Differenzgleichung N-ter Ordnung (GN) mit konstanten Koeffizienten gemäß
    unter Vernachlässigung des Rauschterms bekannten Empfangsvektoren y(k) von zumindest einer von zwei alternativen arithmetischen Entzerrstrukturen i) oder ii) unterschiedlicher zeitlicher Verzögerung, die die reale Struktur des MIMO-Übertragungskanals genau erfassen, bestimmt ist, wobei die allgemeine lineare Differenzgleichung N-ter Ordnung (GN) in ein Gleichungssystem erster Ordnung (G1) gemäß w(k) = A u(k) – B u(k-1) transformiert wird und die Sende- und Empfangsvektoren x(k), y(k) vom konkreten in den mathematischen Raum transformiert (T1), dort nach einer Umformung in die kanonische Form durch die Anwendung einer der beiden Entzerrstrukturen i) oder ii) entzerrt und anschließend wieder in den konkreten Raum transformiert (T2) werden zur Ermittlung der Filterkoeffizienten nach folgendem Schema:
  2. Digitales lineares Entzerrfilter mit einer arithmetischen Filterstruktur mit begrenzter Impulsantwort nach dem Zero-Forcing-Prinzip auf Basis bekannter Kanalmatrizen Ki eines zu entzerrenden, drahtlosen MIMO-Übertragungskanals der symbolübersprechenden Kanallänge N in einem Funkkommunikationssystem mit zum Zeitpunkt k gleichzeitig von n Sendeantennen gesendeten und von m Empfangsantennen -empfangenen Datensymbolen, die für den asymmetrischen Fall m<n mit einem senderseitigen Antennenüberschuss d = n – m zur Ermittlung der Sendevektoren x(k) aus den aus der allgemeinen linearen Differenzgleichung N-ter Ordnung (GN) mit konstanten Koeffizienten gemäß
    unter Vernachlässigung des Rauschterms bekannten Empfangsvektoren y(k) von zumindest einer von zwei alternativen arithmetischen Entzerrstrukturen i) oder ii) unterschiedlicher zeitlicher Verzögerung, die die reale Struktur des MIMO-Übertragungskanals genau erfassen, bestimmt ist, wobei die allgemeine lineare Differenzgleichung N-ter Ordnung (GN) in ein Gleichungssystem erster Ordnung (G1) gemäß w(k) = A u(k) – B u(k-1) transformiert wird und die Sende- und Empfangsvektoren x(k), y(k) vom konkreten in den mathematischen Raum transformiert (T1), dort nach einer Umformung in die kanonische Form durch die Anwendung einer der beiden Entzerrstrukturen i) oder ii) entzerrt und anschließend wieder in den konkreten Raum transformiert (T2) werden zur Ermittlung der Filterkoeffizienten nach folgendem Schema:
  3. Digitales lineares Entzerrfilter nach Anspruch 1 mit einer arithmetischen Filterstruktur für eine Entzerrung im Bereich der Empfangsantennen des MIMO-Übertragungskanals bestehend aus zwei kombinierten Teilfiltern, von denen das eine die arithmetische Entzerrstruktur (i) und das andere die alternative arithmetische Entzerrstruktur (ii) umsetzt.
  4. Digitales lineares Entzerrfilter nach Anspruch 3 mit einer arithmetischen Filterstruktur, bei dem die Ergebnisse der beiden Teilfilter gemäß x(k) = FM xM(k) + FL xL(k) kombiniert werden, wobei die Matrizen gegeben sind durch FM = XL (XM + XL)–1; FL = XM (XM + XL)–1, mit den Matrizen
  5. Digitales lineares Entzerrfilter nach einem der Ansprüche 1 bis 4 mit einer arithmetischen Filterstruktur mit den speziellen pseudo-inversen Matrizen
  6. Digitales lineares Entzerrfilter nach Anspruch 1, 3 oder 4 mit einer arithmetischen Filterstruktur mit den speziellen pseudo-inversen Matrizen
  7. Digitales lineares Entzerrfilter nach Anspruch 1, 3 oder 4 mit einer arithmetischen Filterstruktur mit den speziellen pseudo-inversen Matrizen
    wobei die Matrix U festgelegt ist durch
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