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Beschreibung[de]

Die vorliegende Erfindung betrifft ein Verfahren zur Bestimmung einer in einer zweidimensionalen Ebene verlaufenden Bahnlinie eines Kraftfahrzeugs für eine geführte Bewegung des Kraftfahrzeugs mit Hilfe eines Fahrerassistenzsystems, wobei ein Anfangszustand mit einem Endzustand durch die Bahnlinie verbunden wird und jeder der Zustände Zi = [xi, yi, &psgr;i, ci] entlang der Bahnlinie durch vier Zustandskoordinaten charakterisiert wird, wobei xi und yi die kartesischen Koordinaten eines Punktes Pi bezeichnen, &psgr;i der Richtungswinkel der Tangente und ci die Krümmung der Bahnlinie im Punkt Pi ist und wobei die Bahnlinie aus einer Anzahl elementarer Bahnlinien, die sich in Anschlusspunkten APi aneinander anschließen, in der Weise zusammengesetzt wird, dass die vier Zustandskoordinaten des Zustands Zi in den Anschlusspunkten APi einen stetigen Übergang besitzen.

STAND DER TECHNIK

Verfahren zur Bestimmung einer in einer zweidimensionalen Ebene verlaufenden Bahnlinie eines gelenkten Kraftfahrzeugs sind aus dem Stand der Technik grundsätzlich bekannt. Sowohl aus der Praxis als auch aus der Fachliteratur sind eine ganze Reihe derartiger Verfahren auf dem Gebiet der Steuerung und/oder Regelung von beweglichen Körpern, Kraftfahrzeugen, Robotern und so weiter bekannt, bei denen durch eine Sollwertvorgabe des zurückzulegenden Weges in einer zweidimensionalen Ebene die Bahnlinie systematisch geplant wird.

Ein typisches Beispiel ist die Bahnplanung bei gelenkten Kraftfahrzeugen, um mit Hilfe von Fahrer- und Parkassistenzsystemen zum Beispiel ein geführtes Einparken des Kraftfahrzeugs in eine Parklücke zu ermöglichen.

Ein grundlegendes Ziel der Bahnplanung ist die Verbindung zweier Zustände (Anfangszustand und Endzustand) eines bewegten Objekts, wie zum Beispiel eines Kraftfahrzeugs, mit einer, zwischen diesen beiden Zuständen liegenden Trajektorie.

Unter dem Begriff „Zustand" soll nachfolgend ein Vektor verstanden werden, der die geometrischen Koordinaten des Kraftfahrzeugs in der Bewegungsebene, einen Richtungswinkel der Tangente sowie die Bahnkrümmung der Bahnlinie umfasst. Die Bahnlinie ist dabei ein Teil der Trajektorie des Objekts, und zwar die Projektion der Trajektorie auf die zweidimensionale Bewegungsebene. Anschaulich gesprochen ist die Bahnlinie die Verbindungslinie aller geometrischen Koordinaten des beweglichen Objekts.

Ein Zustand Zi im vorstehend genannten Sinn kann somit durch vier allgemeine Koordinaten charakterisiert werden: Zi = [xi, yi, &psgr;i, ci](1)

Ein Koordinatenpunkt Pi besteht demgegenüber nur aus den geometrischen Koordinaten: Pi = [xi, yi](2) wobei xi, yi die kartesischen Koordinaten des einzelnen Punkts in einem kartesischen Koordinatensystem sind. Im oben genannten Zustandsvektor Zi bezeichnen &psgr;i den Richtungswinkel der Tangente und ci die Krümmung der Bahnlinie im Punkt Pi.

Üblicherweise wird eine Bahnlinie, die einen Anfangszustand und einen Endzustand miteinander verbindet, aus mehreren elementaren Bahnlinien (kurz: EBL) zusammengesetzt, die aus Vereinfachungsgründen uniform sind. Das bedeutet, dass bei der Bahnplanung nur elementare Bahnlinien gleicher Art eingesetzt werden.

In der Praxis werden verschiedene Arten von elementaren Bahnlinien, wie zum Beispiel Spline-Funktionen, Polynom-Funktionen, trigonometrische Funktionen oder Klothoiden eingesetzt. Eine Klothoide ist eine spezielle ebene Kurve mit der Besonderheit, dass sich deren Krümmung c linear verändert.

Die vorstehend genannten elementaren Bahnlinien unterscheiden sich im Wesentlichen nur durch ihre mathematische Beschreibung. Eine Gemeinsamkeit aller elementaren Bahnlinien besteht darin, dass sie auch mit Geraden und/oder Kreisbahnen kombiniert werden können. Mit anderen Worten bedeutet das, dass Geraden und Kreisbahnen Spezialfälle der elementaren Bahnlinien sind.

Eine Bahnlinie eines bewegten Körpers ist in der Regel aus einer Mehrzahl elementarer Bahnlinien zusammengesetzt, die sich in gemeinsamen Anschlusspunkten (kurz: AP) treffen. Die Anschlusspunkte sind daher besondere Punkte der Bahnlinie, die jeweils zu zwei aufeinander folgenden elementaren Bahnlinien (EBL) gehören.

Eine Besonderheit der Bahnlinien besteht darin, dass sie sowohl entlang ihres gesamten Verlaufs als auch in den Anschlusspunkten systembedingt keine sprunghaften Zustandsänderungen aufweisen dürfen. Das bedeutet mit anderen Worten, dass nicht nur im Bahnverlauf, sondern auch in der ersten Ableitung (Tangente) und in der zweiten Ableitung (Bahnkrümmung) stets ein kontinuierlicher Übergang zwischen benachbarten elementaren Bahnlinien in den Anschlusspunkten gewährleistet sein muss.

Ist also APi ein Anschlusspunkt zweier elementarer Bahnlinien (EBL), die jeweils eine Bahnlänge si aufweisen, und bezeichnet man mit F i(s) und F i+1(s) die Vektorfunktionen mit den Komponenten (x, y), die die beiden einander anschließenden elementaren Bahnlinien beschreiben, so ergibt sich die Gleichung: Gleichung (3) stellt die wichtigste Randbedingung bei der Bahnplanung dar.

Bei technischen Anwendungen, wie zum Beispiel beim geführten Ein- und Ausparken eines Kraftfahrzeugs mit Hilfe eines Fahrer- oder Parkassistenzsystems, müssen neben der in Gleichung (3) beschriebenen Randbedingung darüber hinaus noch weitere Randbedingungen erfüllt sein:

  • – die Koordinaten (x, y) müssen gegebenenfalls mehrfach begrenzt sein, um eine Kollisionsfreiheit zu gewährleisten,
  • – die Bahnkrümmung c und/oder deren zeitliche Ableitung dc/dt müssen aufgrund der technischen Realisierbarkeit mittels der Lenkeinrichtung des Kraftfahrzeugs begrenzt sein.

Anhand dieser einleitenden Darstellung wird deutlich, dass die Bahnplanung ein überaus komplexer Prozess ist, wenn alle Anforderungen und Randbedingungen erfüllt werden sollen.

Aus dem Stand der Technik, zum Beispiel aus der DE 29 01 504 B1 sowie aus der DE 19 84 222 A1, sind verschiedene Lösungsansätze, die sich mit Verfahren zur Bahnplanung befassen, bekannt.

In ersten grundlegenden Lösungsansätzen sind ausschließlich Kreisbögen und Geraden als elementare Bahnlinien für zusammengesetzte Bahnlinien eingesetzt worden. Dieser Ansatz kann aber die gemäß Gleichung (3) geforderte Randbedingung nicht erfüllen.

Um die Randbedingung der kontinuierlichen Zustandsübergänge gemäß Gleichung (3) erfüllen zu können, werden neben den bereits erwähnten elementaren Bahnlinien in Form von Kreisbögen und Geraden wahlweise auch Spline-Funktionen, trigonometrische Funktionen, Polynomfunktionen oder Klothoiden eingesetzt.

Im Stand der Technik werden aufgrund ihrer engen Verbindung zu den Gesetzmäßigkeiten der Bewegung von gelenkten Kraftfahrzeugen häufig Klothoiden für die Bahnplanung eingesetzt. Klothoiden haben ferner den Vorteil, dass die Länge der Bahnlinie bei einer Verbindung eines Anfangszustands mit einem Endzustand minimal wird.

Die vier Zustandskoordinaten eines sich auf einer Klothoidenbahnlinie bewegenden Objekts werden durch die nachfolgende Gleichung beschrieben: wobei s wiederum die Bahnlänge, c die Bahnkrümmung der Klothoide, &psgr; den Kurswinkel, x und y die kartesischen Koordinaten eines Punktes auf der Bahnlinie bezeichnen. Die Eingangsgröße der Zustandsgleichung, der Parameter k, ist ein abschnittsweise konstanter Parameter, der häufig auch als „Schärfe" der Klothoide bezeichnet wird.

Aus Gleichung (4) wird deutlich, dass die zustandsvariablen auf einer elementaren Klothoidenbahnlinie (EKBL) stets kontinuierliche Funktionen in Abhängigkeit von s sind. Die Erfüllung der Randbedingung des kontinuierlichen Übergangs in den Anschlusspunkten einer zusammengesetzten Bahnlinie stellt weiterhin ein besonderes Problem bei der Bahnplanung dar.

Für die Bahnplanung mit Hilfe von Klothoiden sind aus dem Stand der Technik eine ganze Reihe von Lösungen und Lösungsansätzen bekannt, wie zum Beispiel Dubins: „On Curves of Minimal Length with a Constraint on Average Curvature, and with Prescibed Initial and Terminal Positions and Tangents", American Journal of Mathematics, Vol. LXXIX, 1957, S. 497–516; Soueres and Laumond: "Shortest Paths synthesys for a Car-Like Robot", IEEE Trans. On Automatic Control, Vol. 41, No. 5, May 1996, S. 672–688. Diese aus dem Stand der Technik bekannten Lösungsverfahren sind allerdings für die praktische Anwendung aufgrund Ihres sehr hohen rechnerischen Aufwands wenig geeignet.

Eine grundlegende Schwierigkeit bei der Behandlung von Klothoiden besteht insbesondere darin, dass eine geschlossene Integration der Gleichung (4) nicht möglich ist und zu Fresnel'schen Integralen führt.

Wie aus der deutschen Patentanmeldung DE 199 40 007 A1 bekannt, lässt sich mit Hilfe einer Reihenentwicklung der Funktionen Kosinus und Sinus eine Näherungslösung finden, die folgende Form aufweist:

In dieser Gleichung bezeichnet die endliche positive Zahl N < ∞ den Grad der Näherungspolynome.

Gleichung (5) stellt somit die elementare Klothoidenbahnlinie (EKBL) in parametrischer Form als Polynome x(s) und y(s) dar.

Eine Schwierigkeit der auf diese Weise erhaltenen Polynomfunktionen besteht darin, dass sie für systematische und analytische Bahnplanungen nicht geeignet sind, obwohl sie eine numerische Bahnberechnung möglichen.

Hier setzt die vorliegende Erfindung an.

Der vorliegenden Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren der eingangs genannten Art zur Verfügung zu stellen, bei dem Klothoiden eingesetzt werden können und bei dem der Rechenaufwand in der Weise verringert werden kann, dass eine systematische Bahnplanung auch auf analytischem Weg möglich ist.

Diese Aufgabe wird durch ein Verfahren mit den Merkmalen des Anspruchs 1 gelöst. Die Unteransprüche betreffen vorteilhafte Weiterbildungen der Erfindung.

Gemäß Anspruch 1 zeichnet sich das erfindungsgemäße Verfahren dadurch aus, dass der Bahnlinie mindestens ein gleichschenkliges Plandreieck mit den Eckpunkten &Dgr;(P0, P3, P5) zugeordnet wird, bei dem P0 den Startpunkt und P3 den Zielpunkt mindestens eines Teils der Bahnlinie bezeichnet, und der Punkt P5, welcher der Plandreiecksbasis gegenüberliegt, durch den Schnittpunkt der beiden Plandreiecksschenkel beziehungsweise in der Weise bestimmt wirddie beiden Schenkel eine identische Länge aufweisen und mit der Plandreieckseite jeweils einen identischen Scheitelwinkel &psgr;1 einschließen, wobei der Winkel &psgr;1 des Plandreiecks beim Eckpunkt P0 durch den Winkel zwischen der Tangente der Bahnlinie und der Dreieckseite bestimmt wird und durch die Parameter des Plandreiecks die Parameter der elementaren Bahnlinien bestimmt werden. Durch diese Maßnahmen kann die Bahnplanung im Vergleich zu den aus dem Stand der Technik bekannten Verfahren stark vereinfacht werden.

Insbesondere kann mit Hilfe des erfindungsgemäßen Verfahrens erreicht werden, dass aus den Parametern des Plandreiecks die Parameter, die zur Beschreibung der elementaren Bahnlinie geeignet sind, auf einfache Weise und mit geringem Aufwand abgeleitet werden können.

Vorzugsweise wird die Bahnlinie aus mindestens zwei Klothoiden zusammengesetzt. Es hat sich gezeigt, dass sich Klothoiden in besonders vorteilhafter Weise für die Bahnplanung eignen. Es besteht alternativ auch die Möglichkeit, dass die elementaren Bahnlinien eine trigonometrische Funktion und/oder eine Polynomfunktion und/oder eine Kreisbahn und/oder eine Spline-Funktion umfassen.

Es besteht in einer vorteilhaften Ausführungsform weiterhin die Möglichkeit, dass in die Bahnlinie mindestens eine Gerade und/oder mindestens ein Kreisbogen eingefügt werden. Die Möglichkeit, mindestens eine Kreisbahn in die Bahnlinie einzufügen, ist insbesondere dann vorteilhaft, wenn die durch die Lenkeinrichtung des Kraftfahrzeugs vorgegebene, maximal mögliche Krümmung der Bahnlinie bei der Bahnplanung erreicht wird.

Insbesondere können die einzelnen elementaren Bahnlinien im Anschlusspunkt einen Wendepunkt bilden. Die elementaren Bahnlinien können im Anschlusspunkt auch keinen Wendepunkt bilden. Ob ein Wendepunkt in die Bahnplanung einbezogen wird, hängt zum Beispiel davon ab, wie das Kraftfahrzeug in eine Parklücke eingeparkt werden soll.

Es kann vorgesehen sein, dass jeder der symmetrischen elementaren Bahnlinien jeweils ein gleichschenkliges Plandreieck zugeordnet wird und die Plandreiecke in der Weise miteinander verbunden werden, dass jeweils die beiden Schenkel der beiden sich aneinander anschließenden Plandreiecke in einem gemeinsamen Anschlusspunkt eine Gerade bilden.

Vorzugsweise werden die Plandreiecke in den Anschlusspunkten durch eine Gerade miteinander verbunden werden, wobei die Gerade eine Verlängerung der sich an sie anschließenden Schenkel der Plandreiecke bildet.

Es besteht die Möglichkeit, dass die den Plandreiecken zugeordnete elementare Bahnlinie mindestens abschnittsweise eine symmetrische Doppelklothoide ist. Dadurch kann die Planung der Bahnlinie mit Hilfe des hier gezeigten Verfahrens weiter vereinfacht werden.

Gemäß einer vorteilhaften Weiterbildung ist vorgesehen, dass der symmetrischen Doppelklothoide ein gleichschenkliges Plandreieck &Dgr;(P0, P3, P5) zugeordnet wird, das im Punkt P5 durch eine Winkelhalbierende in zwei rechtwinklige Dreiecke &Dgr;(P0, P5, P2) und &Dgr;(P3, P5, P2) aufgeteilt wird, wobei die Dreiecke &Dgr;(P0, P5, P2) und &Dgr;(P3, P5, P2) den Winkel &psgr;1 und identische Ankatheten aufweisen und diese rechtwinkligen Dreiecke jeweils einer Hälfte der symmetrischen Doppelklothoide zugeordnet werden.

Es besteht die Möglichkeit, dass sich die beiden Klothoiden auf der Dreiecksseite in einem Punkt P1 treffen und weiterhin die Punkte P0 und P3 mit dem Punkt P1 in der Weise verbinden, dass die beiden Klothoidenbahnlinien ihre maximale Bahnkrümmung c1 = P(&psgr;1)/x01 im Anschlusspunkt AP1 erreichen.

In einer bevorzugten Ausführungsform ist vorgesehen, dass das charakteristische Polynom P(&psgr;2) der Klothoidenbahnlinie die Form P(&psgr;1) = 2&psgr;1⎣Py(&psgr;1)tg&psgr;1 + Px(&psgr;1)⎦cos&psgr;1 besitzt und die Polynomfunktionen Px und Py durch die Gleichungen und bestimmt werden.

Das Verfahren beruht auf der Erkenntnis, dass die elementaren Klothoidenbahnlinien im Vergleich zu Gleichung (5) in parametrischer Form wesentlich vorteilhafter und einfacher dargestellt werden können.

Dazu geht man von den für k = const. gültigen Gleichungen aus: c = ks(6) aus und setzt das Gleichungspaar in Gleichung (5) ein. Daraus können dann die beiden Koordinaten x(s) und y(s) in Form von parametrischen Polynomfunktionen berechnet werden.

Für N = 3 hat ein beispielhaftes Näherungspolynom die folgende Gestalt:

Diese Näherung mit N = 3 stellt eine für praktische Anwendungen im Allgemeinen ausreichende Genauigkeit dar. Gemäß einer Weiterbildung des Verfahrens kann auch die unbekannte Bogenlänge in den beiden Teilgleichungen (9) eliminiert werden. Dann kann die durch die kartesischen Koordinaten der Bahnlinie beschriebene Funktion in einer geschlossenen Form wie folgt angegeben werden:

Man erkennt, dass der geometrische Verlauf der Bahnlinie einer elementaren Klothoidenbahnlinie (EKBL) mit Hilfe von drei Zustandskoordinaten x, y, &psgr; angegeben werden kann. Der Winkel &psgr; spielt bei dem hier offenbarten Verfahren somit eine sehr wichtige Rolle.

Vorzugsweise werden Stellgrößen für die Lenkeinrichtung des Kraftfahrzeugs dadurch bestimmt, dass die Länge s1i und die Schärfe ki der Klothoiden durch die Formeln bestimmt werden, wobei die Bogenlänge des mindestens einen Kreisbogens durch die Beziehung bestimmt wird.

Eine Vorrichtung, die zur Durchführung des hier offenbarten Verfahrens und zum Einbau in ein Kraftfahrzeug geeignet ist, kann so ausgeführt sein, dass sie eine fest verdrahtete elektronische Einheit ist. Die Vorrichtung kann insbesondere eine frei programmierbare elektronische Einheit sein.

Vorzugsweise steuert die Vorrichtung vorausberechnete und gespeicherte Bahnlinien an.

Vorteilhafterweise besteht die Möglichkeit, dass die Vorrichtung mit einer Umgebungskarte gekoppelt ist und die Bahnplanung in Abhängigkeit der Umgebungskarte erfolgen kann.

Vorzugsweise ist die Vorrichtung ein Teil eines Fahrerassistenzsystems.

ZEICHNUNGEN

Weitere Merkmale und Vorteile der vorliegenden Erfindung werden deutlich anhand der nachfolgenden Beschreibung bevorzugter Ausführungsbeispiele unter Bezugnahme auf die beiliegenden Abbildungen. Darin zeigen

1 eine Darstellung der charakteristischen Größen einer asymmetrischen Doppelklothoide;

2 eine Bahnlinie einer asymmetrischen Doppelklothoide sowie deren geometrische Charakterisierung, die bei einem erfindungsgemäßen Verfahren eingesetzt wird;

3 die charakteristischen Größen einer elementaren Klothoidenbahnlinie und der daraus gebildeten symmetrischen Doppelklothoide;

4 eine Bahnlinie einer elementaren Klothoidenbahnlinie und eine daraus gebildete Doppelklothoide;

5 ein Plandreieck einer symmetrischen Doppelklothoide;

6 ein Plandreieck einer aus einer symmetrischen Doppelklothoide und einer Geraden zusammengesetzten Bahnlinie;

7 eine Darstellung der Klothoidenfunktion;

8 eine Darstellung der charakteristischen Größen bei einer Bahnplanung mit begrenzter Bahnkrümmung;

9, 10 Darstellungen eines Plandreiecks mit einem den Klothoiden zugeordnetem Basisdreieck;

11 ein Plandreieck zweier elementarer Klothoidenbahnlinien, die zur Begrenzung der Bahnkrümmung miteinander verbunden sind;

1214 Verläufe der zusammengesetzten Bahnlinie bei einer Veränderung des Verhältnisses der Basislängen der Klothoiden;

15 schematisch ein Verfahren zur Bahnplanung gemäß einer zweiten Ausführungsform der vorliegenden Erfindung mit Hilfe von miteinander verbundenen gleichschenkligen Plandreiecken und/oder eingefügten Geraden;

16 schematisch die Bestimmung, ob eine Parklücke für ein Kraftfahrzeug geeignet ist, mittel des hier offenbarten Verfahrens.

BESCHREIBUNG DER AUSFÜHRUNGSBEISPIELE

Nachfolgend werden die wesentlichen Aspekte des erfindungsgemäßen Verfahrens zur Bestimmung einer in einer zweidimensionalen Ebene verlaufenden Bahnlinie eines Kraftfahrzeugs näher erläutert. Das erfindungsgemäße Verfahren kann beispielsweise in Kraftfahrzeugen eingesetzt werden, um zu bestimmen, ob eine Parklücke für das Kraftfahrzeug geeignet ist. Eine entsprechende Vorrichtung, die zur Durchführung des hier offenbarten Verfahrens geeignet ist, kann in ein Kraftfahrzeug eingebaut werden und ist vorzugsweise Teil eines Fahrerassistenzsystems. Mit Hilfe des nachfolgend beschriebenen Verfahrens kann zum Beispiel eine geführte Bewegung des Kraftfahrzeugs mit Hilfe eines Fahrerassistenzsystems beziehungsweise Parkassistenzsystems erreicht werden.

Zunächst wird auf 1 und 2 Bezug genommen, in denen zwei elementare Klothoidenbahnlinien mit einer Schärfe k1 beziehungsweise k2 sowie mit einer Bahnlänge s1 beziehungsweise s2 dargestellt sind. Um die weitere Darstellung zu vereinfachen, soll nachfolgend angenommen werden, dass eine erste elementare Klothoidenbahnlinie EKBL1, die für die Bahnplanung eingesetzt wird, im Ursprung des Koordinatensystems im Punkt P0 = [0, 0] und mit einem Zustand Z0 = [0, 0, 0, 0] beginnen soll. Diese erste elementare Klothoidenbahnlinie EKBL1 endet in einem Punkt P1 = [x1, y1]. An diesem Punkt P1 befindet sich die erste elementare Klothoidenbahnlinie EKBL1 in einem Zustand Z1 = [x1, y1, &psgr;1, c1]. An die erste elementare Klothoidenbahnlinie EKBL1 wird am Punkt P1 eine zweite elementare Klothoidenbahnlinie EKBL2 angefügt, welche die Punkte P1 = [x1, y1] und P3* = [x3*, y3*] beziehungsweise die entsprechenden Zustände Z1 = [x1, y1, &psgr;1, c1] und Z3 = [x3*, y3*, &psgr;1 + &psgr;2, 0] miteinander verbindet.

Jeder der beiden in 2 gezeigten elementaren Klothoidenbahnlinien EKBL1 und EKBL2 wird ein rechtwinkliges Plandreieck &Dgr;(P0, P2, P5) beziehungsweise &Dgr; (P3*, P2*, P5*) zugeordnet. Diese beiden Plandreiecke besitzen einen Basiswinkel &psgr;1 beziehungsweise &psgr;2.

Die Basen der beiden elementaren Klothoidenbahnlinien EKBL1 und EKBL2 werden jeweils durch die Ankatheten beziehungsweise gebildet. Die Ankatheten der beiden Plandreiecke &Dgr;(P0, P2, P5) beziehungsweise &Dgr;(P3*, P2*, P5*) weisen eine Länge x01 beziehungsweise x02 auf.

Man erkennt, dass die Gegenkatheten beziehungsweise der Plandreiecke in einem gemeinsamen Anschlusspunkt P1 senkrecht zur Tangente orientiert sind.

Beim Verlauf der beiden elementaren Klothoidenbahnlinien muss noch berücksichtigt werden, dass aufgrund der oben genannten Gleichungen (6) und (7) folgende Beziehungen gelten:

Ist k2 > k1, so wird s2 < s1 und &psgr;2 < &psgr;1 bei gleicher Änderung von c sein.

Geht man von der oben genannten Gleichung (9) aus, erhält man: x1 = s1Px(&psgr;1)(13) y1 = s1Py(&psgr;1)(14)

Darüber hinaus wird der geometrische Zusammenhang: verwendet.

Aus der vorstehend genannten Gleichung (15) ergibt sich dann der Zusammenhang zwischen der Basislänge x01 und der Bogenlänge s1 der elementaren Klothoidenbahnlinie EKBL1:

In dieser Gleichung ist die Bogenlänge s1 eine unbekannte Größe.

Die Bogenlänge s1 kann allerdings unter Hinzuziehung der Gleichungen (6) und (7) bestimmt werden:

Dadurch kann die Bogenlänge s1 aus Gleichung (16) eliminiert werden. Daraus ergibt sich die nachfolgend dargestellte Grundgleichung der Bahnplanung mittels einer elementaren Klothoidenbahnlinie (EKBL): wobei P(&psgr;1) die charakteristische Polynomfunktion für die elementare Klothoidenbahnlinie EKBL1 ist und die nachfolgende Form hat: P(&psgr;1) = 2&psgr;1⎣Py(&psgr;1)tg&psgr;1 + Px(&psgr;1)⎦cos&psgr;1(19)

Ein Vorteil besteht darin, dass das zu der ersten elementaren Klothoidenbahnlinie EKBL1 gehörende Plandreieck &Dgr;(P0, P2, P5) durch den Zustand Z1 = [x1, y1, &psgr;1, c1] der Bahnlinie in ihrem Endpunkt P1 vollständig bestimmt ist.

Vorteilhaft ist ferner, dass eine vollständige und anschauliche Verbindung zwischen der analytischen und der geometrischen Darstellung der Bahnlinie existiert.

Entsprechend gilt auch für die zweite elementare Klothoidenbahnlinie EKBL2 unter der Voraussetzung, dass c2 = c1 ist. P(&psgr;2) = 2&psgr;2⎣Py(&psgr;2)tg&psgr;2 + Px(&psgr;2)⎦cos&psgr;2(21)

Dabei ist die Größe &psgr;2 ein freier Parameter dieser Gleichung.

Betrachtet man nachfolgend eine zusammengesetzte Bahnlinie BL, die aus der ersten elementaren Klothoidenbahn EKBL1 und der zweiten elementaren Klothoidenbahn EKBL2 zusammengesetzt ist, mit deren Hilfe die Zustände Z0 = [0, 0, 0, 0] und Z3 = [x3*, y3*, &psgr;1 + &psgr;2, 0] miteinander verbunden werden, können die Koordinaten des Punktes P3* = [x3*, y3*] mit Hilfe der nachfolgenden Gleichung bestimmt werden

Auf diese Weise ist dann auch die Größe &psgr;2 festgelegt.

Um eine Überbestimmung zu verhindern, muss entweder eine Komponentengleichung der Gleichung (22) oder der Abstand: berücksichtigt werden.

Darüber hinaus besteht ein fester Zusammenhang zwischen der analytischen und der topografischen Darstellung der Bahnplanung. Die Gleichungssysteme (18) bis (22) beziehungsweise (18) bis (21) und (23) sind nur mit Hilfe numerischer Verfahren lösbar.

Analog dazu kann auch der Fall gelöst werden, bei dem k2 < k1 ist und damit s2 > s1 und &psgr;2 < &psgr;1 ist.

Es ist besonders vorteilhaft, wenn die beiden elementaren Klothoidenbahnlinien EKBL1 und EKBL2 einen spiegelsymmetrischen Verlauf besitzen, mithin also &psgr;1 = &psgr;2 ist. Daraus folgt, dass die beiden elementaren Klothoidenbahnlinien EKBL1 und EKBL2 die gleiche Bahnlänge besitzen (d.h.: s1 = s2 und x01 = x02). Dieser Fall ist in 2 gestrichelt dargestellt und wird unter Bezugnahme auf 3 und 4 noch einmal ausführlich beschrieben.

In 4 sind zwei elementare Klothoidenbahnlinien EKBLi, EKBL2 gezeigt, bei denen die Schärfe k der Klothoide, wie in 3 zu erkennen, durch k = k1 und k = –k1 gegeben ist. Auf diese weise erhält man eine symmetrische Doppelklothoide (SDK), welche die Punkte P0 = [0, 0] und P3 = [x3, y3] beziehungsweise die entsprechenden Zustände Z0 = [0, 0, 0, 0] und Z3 = [x3, y3, 2&psgr;1, 0] miteinander verbindet. Die Zielkoordinaten x3, y3 können dann wie folgt berechnet werden:

Darüber hinaus können die Parameter x1, y1, x01 mit Hilfe der Gleichungen (13) bis (19) bestimmt werden.

Mit Hilfe der Gleichungssysteme (13) bis (19) und (24) lassen sich folgende grundsätzlichen Aufgaben der Bahnplanung beim Einparken eines Kraftfahrzeugs in eine Parklücke ausführen:

  • – Bestimmung des zurückgelegten Abstands 2x01 zwischen den Anfangs- und Endpunkten P0 = [0,0] beziehungsweise P3 = [x3, y3] bei Vorgabe der Änderung der Bahnrichtung 2&psgr;1 und einer maximalen Bahnkrümmung c1;
  • – Bestimmung der tatsächlich erreichten Bahnrichtung 2&psgr;1 bei Vorgabe des zurückzulegenden Abstands 2x01 und der maximalen Bahnkrümmung c1;
  • – Bestimmung der maximal erreichbaren Krümmung c1 in Abhängigkeit von den beiden übrigen Zielparametern 2x01 und 2&psgr;1.

Die Bahnplanung kann somit in der Weise durchgeführt werden, dass die Basislinien von gleichschenkligen Plandreiecken direkt oder mit zusammengesetzten Geraden in der Weise miteinander verbunden werden, dass in den Anschlusspunkten keine Änderung der Bahnkrümmung eintritt. Dabei wird jedem der Plandreiecke eine symmetrische Doppelkothoide (SDK) zugeordnet.

Die in 3 bis 6 dargestellten Beispiele zeigen, dass jede symmetrische Doppelklothoide SDKi durch die beiden Parameter &psgr;i und x0i bestimmt wird. Diese beiden Parameter können analog zur elementaren Klothoidenbahnlinie EKBL gemäß Gleichung (18) wie folgt dargestellt werden: cix0i = P (&psgr;1)(25)

Durch Vorgabe von zwei der drei Parameter ci, x0i, &psgr;i kann die Bahnplanung durch Lösung dieser Gleichung auf einfache Art und Weise erfolgen.

Es wird klar, dass das Polynom P(&psgr;i) eine maßgebende Funktion bei der Planung des Verlaufs der Bahnlinie eines gelenkten Kraftfahrzeugs ist. Der Verlauf des Polynoms P(&psgr;i) ist in 7 gezeigt. Aufgrund der nicht monotonen Eigenschaft dieses Polynoms P(&psgr;i) ist diese Funktion in einem Bereich &psgr;1 < 1,22 rad (≈ 70°) für eine iterative Lösung besonders geeignet. Dieser Bereich ist für die meisten technischen Anwendungen ausreichend.

Wenn die geometrischen Koordinaten x0i, &psgr;2 vorgegeben werden, ergibt sich die maximale Bahnkrümmung ci zu:

Bei der Bahnplanung unter realen Umgebungsbedingungen ist ein wichtiger Fall derjenige, bei dem die maximale Krümmung der Bahnlinie zum Beispiel durch einen maximalen Lenkeinschlag der Lenkung des Kraftfahrzeugs begrenzt ist. Dann gilt: ci ≤ cimax(27)

Diese Randbedingung ist insbesondere dann von Bedeutung, wenn das Kraftfahrzeug mit Hilfe des Fahrerassistenzsystems in eine verhältnismäßig kurze Parklücke eingeparkt werden soll. Beim Abfahren der Soll-Bahnlinie wird der maximale Einschlagwinkel der Lenkeinrichtung des Kraftfahrzeugs und dadurch auch die maximal mögliche Krümmung der Bahnlinie BL erreicht. Das führt dazu, dass zwei elementare Klothoidenbahnlinien EKBL1, EKBL2 durch die Kreisbahn (kurz: KB) miteinander verbunden werden.

Es besteht die Möglichkeit, dass die Klothoidenbahnlinien sowohl aus symmetrischen als auch aus asymmetrischen elementaren Klothoidenbahnlinien (EKBL) zusammengesetzt werden, die für die Bahnplanung eingesetzt werden. Um dabei den Rechenaufwand zu verringern, ist es allerdings vorteilhaft, nur symmetrische Doppelklothoiden (SDK) einzusetzen.

Der Verlauf der grundlegenden Größen des i-ten Plandreiecks ist in 8 gezeigt. Nach einer Bahnlänge si wird die maximale Bahnkrümmung c = cimax erreicht. Der weitere Verlauf auf einer Bahnlänge von s&agr;i entspricht einer Kreisbahn mit dem Radius und der Kreisbahn folgt dann die zweite elementare Klothoidenbahnlinie EKBL2. Der Öffnungswinkel der Kreisbahn kann durch die Gleichung: bestimmt werden.

Ein Ziel ist es nunmehr, bei gegebenen Zielkoordinaten (Abstand: 2x0Z und Bahnrichtungsänderung: &psgr;Zi = 2&phgr;i) und bei Vorgabe der maximalen, durch den maximalen Einschlagwinkel der Lenkung des Kraftfahrzeugs vorgegebenen Krümmung cimax den Basiswinkel der Klothoide &psgr;i im Winkelbereich 0 ≤ &psgr;i ≤ &phgr;i zu bestimmen, das heißt, die Verbindung der Anfangs- und Endzustände: Z0 = [0, 0, 0, 0], Z2 = [x3i, y3i, &psgr;Zi, 0](30) unter der Randbedingung ci ≤ cimax(31) herzustellen.

Die Planung der Bahnlinie des Kraftfahrzeugs wird dabei in den nachfolgend beschriebenen Verfahrensschritten durchgeführt:

  • 1. Aus der Zielvorgabe der Bahnplanung werden die Parameter für eine symmetrische Doppelklothoide mit Hilfe der nachfolgenden Gleichungen bestimmt: muss in die Bahnlinie keine Kreisbahn eingefügt werden.
  • 3. Wenn muss die Bahnkrümmung ci durch Einfügen einer Kreisbahn begrenzt werden.

    Dieser Lösungsweg wird nachfolgend anhand der Darstellung in 9 und 10 näher erläutert. Gegeben ist ein gleichschenkliges Plandreieck &Dgr;(P0i, P3i, P5i) mit einem Basiswinkel &phgr;i und einer Basis mit einer Länge 2x0Z.

    Die innerhalb des Plandreiecks &Dgr;(P0i, P3i, P5i) liegenden Dreiecke 1, 2 und 3 zeigen beispielhaft drei neue Plandreiecke für symmetrische Doppelklothoiden mit Basiswinkeln &psgr;i(1) < &psgr;i(2) < &psgr;i(3) < &phgr;i (siehe 9).

    Die drei inneren Plandreiecke 1, 2, 3 werden jeweils auf einer eigenen Symmetrielinie zusammen mit den zugehörigen symmetrischen Doppelklothoiden (SDK) getrennt. Die abgetrennte zweite Hälfte der Plandreiecke 1, 2, 3 wird dann, wie in 10 zu erkennen, in den Eckpunkt P3i des Plandreiecks &Dgr;(P0i, P3i, P5i) verschoben. Die durch die Teilung der symmetrischen Doppelklothoiden erhaltenen elementaren Klothoidenbahnlinien EKBL1 und EKBL2 werden dann, wie in 11 gezeigt, in den Anschlusspunkten AP1 und AP2 mit einer Kreisbahn (KB) verbunden. Der Mittelpunkt der Kreisbahn ist mit M&agr; bezeichnet.

    Dann gelten folgende Gruppen von Gleichungen: &agr;i + &psgr;Zi = 2&phgr;i(35) Nach einer Eliminierung sämtlicher Hilfsvariablen ergibt sich dann die transzendente Gleichung: F(x0Z, &phgr;i, cimax, &psgr;i) = 0(39) Dabei ist die Größe &psgr;i die Unbekannte dieser Gleichung und die drei Größen x0Z, &phgr;i, cimax sind Parameter. Aus der transzendenten Gleichung (39) kann die unbekannte Größe &psgr;i numerisch bestimmt werden.

    Man erkennt, dass analog zu dem Fall, bei dem keinerlei Begrenzung der Bahnkrümmung ci auftritt, die für die Bahnplanung wichtigen Parameter wiederum durch den Basiswinkel &psgr;i der elementaren Klothoidenbahnlinie bestimmt werden.
  • 4. Aus den Grundgleichungen der elementaren Klothoidenbahnlinien (EKBL1, EKBL2) werden dann die für die Lenkeinrichtung des Kraftfahrzeugs maßgeblichen Größen bestimmt.
  • 5. In einem letzten Verfahrensschritt werden bei zusammengesetzten Bahnlinien, die mindestens einen Wendepunkt aufweisen, die freien Parameter x01/x03 festgesetzt.

    In 12 bis 14 sind typische Beispiele für Bahnlinien mit einem Wendepunkt dargestellt. Wenn es möglich ist, wird das Verhältnis x01/x03 auf einen optimalen Wert, insbesondere auf das Verhältnis x01/x03 ~ 1, eingestellt. Dies ist insbesondere deshalb vorteilhaft, weil dadurch eine symmetrische Lenkbelastung entsteht.

    In 13 und 14 sind zwei Beispiele für Bahnlinien mit einem Wendepunkt gezeigt, bei denen dieses optimale Verhältnis x01/x03 ~ 1 nicht erreicht werden kann.

    In 13 ist die Basislänge x01 erheblich kleiner als die Basislänge x03 und in 14 ist x01 erheblich größer als x03. Diese in 13 und 14 gezeigten Situationen treten insbesondere dann auf, wenn eine Kollision mit Hindernissen H1, H2, die beispielsweise Gegenstände oder Fahrzeuge innerhalb der Parklücke sein können, während des Einparkens verhindert werden soll. Das Verhältnis x01/x03 weist eine obere beziehungsweise eine untere Grenze auf. Diese beiden Grenzen ergeben sich daraus, dass die Klothoidenlänge in dem entsprechend kleiner werdenden Plandreieck ebenfalls kleiner wird. Die minimale Klothoidenlänge stellt insbesondere eine Systemgrenze dar.

In 15 ist gezeigt, dass die Plandreiecke quasi in beliebiger Art und Weise zusammengefügt werden können.

Bei einer wichtigen Anwendung des hier vorgestellten Verfahrens zur Planung einer Bahnlinie ist es beim Ein- und Ausparken eines Kraftfahrzeugs von besonderer Bedeutung, dass die Eignung der Parklücke zum Einparken des Kraftfahrzeugs relativ rasch bestimmt werden kann. Ziel ist es dabei, möglichst alle (unter Umständen auch nur unter Grenzbedingungen) geeigneten Parklücken auszunutzen.

Eine Parklücke ist dann für das Einparken des Kraftfahrzeugs geeignet, wenn mindestens mit der minimalen Klothoidenbahnlänge und/oder der maximalen Bahnkrümmung ein kollisionsfreies Befahren der Parklücke möglich ist. Dies soll nachfolgend anhand von 16 erläutert werden. Die Gleichungen (35) bis (38) werden in der Weise vorgegeben, dass die Start- und Zielzustände gegeben sind, so dass dadurch auch die Parameter x0i, &phgr;i des Plandreiecks vorgegeben sind. Unter der Vorgabe der maximalen Bahnkrümmung ci,max und der minimalen Klothoidenbahnlänge si,min, die ungefähr x0i entspricht, können aus den Gleichungen (35) und (37) die Winkelparameter &agr;i und &psgr;i bestimmt werden. Mit Hilfe der Gleichung (36) können dann die Koordinaten des Punktes PZ* bestimmt werden. Liegt der Punkt PZ* auf der Geraden die den Anfangs- und den Endzustand miteinander verbindet, dann ist die Parklücke als geeignet anzusehen.

Mit dem hier gezeigten Verfahren können gegenüber dem Stand der Technik folgende Vorteile erreicht werden:

  • – Die Klothoiden werden in die Bahnplanung einbezogen.
  • – Das Verfahren ist systematisch.
  • – Durch Vorgabe des Zielzustandes und/oder durch Festsetzung des freien Parameters (Basislänge beziehungsweise Aufteilung zweier Basislängen der zueinander gehörenden Plandreiecke) können weitere Randbedingungen, wie zum Beispiel die Optimierung, die Kollisionsvermeidung, die Parklückeneignungsprüfung und so weiter berücksichtigt werden.


Anspruch[de]
Verfahren zur Bestimmung einer in einer zweidimensionalen Ebene verlaufenden Bahnlinie eines Kraftfahrzeugs für eine geführte Bewegung des Kraftfahrzeugs mit Hilfe eines Fahrerassistenzsystems, wobei ein Anfangszustand mit einem Endzustand durch die Bahnlinie verbunden wird und jeder der Zustände Zi = [xi, yi, &psgr;i, ci] entlang der Bahnlinie durch vier Zustandkoordinaten charakterisiert wird, wobei xi und yi die kartesischen Koordinaten eines Punktes Pi bezeichnen, &psgr;i der Richtungswinkel der Tangente und ci die Krümmung der Bahnlinie im Punkt Pi ist und wobei die Bahnlinie aus einer Anzahl elementarer Bahnlinien, die sich in Anschlusspunkten APi aneinander anschließen, in der Weise zusammengesetzt wird, dass die vier Zustandskoordinaten des Zustands Zi in den Anschlusspunkten APi einen stetigen Übergang besitzen, dadurch gekennzeichnet, dass der Bahnlinie mindestens ein gleichschenkliges Plandreieck mit den Eckpunkten &Dgr;(P0, P3, P5) zugeordnet wird, bei dem P0 den Startpunkt und P3 den Zielpunkt mindestens eines Teils der Bahnlinie bezeichnet, und der Punkt P5, welcher der Plandreiecksbasis gegenüberliegt, durch den Schnittpunkt der beiden Plandreiecksschenkel beziehungsweise in der Weise bestimmt wird, dass die beiden Schenkel eine identische Länge aufweisen und mit der Plandreieckseite jeweils einen identischen Scheitelwinkel &psgr;1 einschließen, wobei der Winkel &psgr;1 des Plandreiecks beim Eckpunkt P0 durch den Winkel zwischen der Tangente der Bahnlinie und der Dreieckseite bestimmt wird und durch die Parameter des Plandreiecks die Parameter der elementaren Bahnlinien bestimmt werden. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass die Bahnlinie aus mindestens zwei Klothoiden zusammengesetzt wird. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass in die Bahnlinie mindestens eine Gerade und/oder mindestens ein Kreisbogen eingefügt werden. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass die Bahnlinie mindestens teilweise aus symmetrischen elementaren Bahnlinien zusammengesetzt wird. Verfahren nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, dass jeder der symmetrischen elementaren Bahnlinien jeweils ein gleichschenkliges Plandreieck zugeordnet wird und die Plandreiecke in der Weise miteinander verbunden werden, dass jeweils die beiden Schenkel der beiden sich aneinander anschließenden Plandreiecke in einem gemeinsamen Anschlusspunkt eine Gerade bilden. Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, dass die Plandreiecke in den Anschlusspunkten durch eine Gerade miteinander verbunden werden, wobei die Gerade eine Verlängerung der sich an sie anschließenden Schenkel der Plandreiecke bildet. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 6, dadurch gekennzeichnet, dass die elementare Bahnlinie mindestens abschnittsweise eine symmetrische Doppelklothoide ist. Verfahren nach Anspruch 7, dadurch gekennzeichnet, dass der symmetrischen Doppelklothoide ein gleichschenkliges Plandreieck &Dgr;(P0, P3, P5) zugeordnet wird, das im Punkt P5 durch eine Winkelhalbierende in zwei rechtwinklige Dreiecke &Dgr;(P0, P3, P2) und &Dgr;(P3, P5, P2) aufgeteilt wird, wobei die Dreiecke &Dgr;(P0, P5, P2) und &Dgr;(P3, p5, P2) den Winkel &psgr;1 und identische Ankatheten x01 = aufweisen und diese rechtwinkligen Dreiecke jeweils einer Hälfte der symmetrischen Doppelklothoide zugeordnet werden. Verfahren nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, dass sich die beiden Klothoiden auf der Dreiecksseite in einem Punkt P1 treffen und weiterhin die Punkte P0 und P3 mit dem Punkt P1 in der Weise verbinden, dass die beiden Klothoidenbahnlinien ihre maximale Bahnkrümmung ci = P(&psgr;1)/x01 im Anschlusspunkt AP1 erreichen. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 9, dadurch gekennzeichnet, dass das charakteristische Polynom P(&psgr;1) der Klothoidenbahnlinie die Form P(&psgr;1) = 2&psgr;1⎣Py(&psgr;1)tg&psgr;1 + Px(&psgr;1)⎦cos&psgr;1 besitzt und die Polynomfunktionen Px und Py durch die Gleichungen bestimmt werden. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass Stellgrößen für die Lenkeinrichtung des Kraftfahrzeugs dadurch bestimmt werden, dass die Länge s1i und die Schärfe ki der Klothoiden durch die Formeln bestimmt werden, wobei die Bogenlänge des mindestens einen Kreisbogens durch die Beziehung bestimmt wird.






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